+7 (499) 110-86-37Москва и область +7 (812) 426-14-07 Доб. 366Санкт-Петербург и область

Доказательство сочетательного закона алгебры логики

В алгебре логики аналогично обычной математике раскрытие сложных выражений подчиняется определённым законам. Сложные логические выражения выполняются в следующей последовательности:. Если необходимо изменить последовательность операций, то используются скобки. Операции в скобках выполняются в первую очередь.

Дорогие читатели! Наши статьи рассказывают о типовых способах решения юридических вопросов, но каждый случай носит уникальный характер.

Если вы хотите узнать, как решить именно Вашу проблему - обращайтесь в форму онлайн-консультанта справа или звоните по телефонам, представленным на сайте. Это быстро и бесплатно!

Содержание:

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям. Пример 1. Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 2. Поиск по сайту. Главная страница. Внеклассное мероприятие. Используемые ресурсы. Prepositions transport and travel. Географическое положение материка Австралия.

Река и её части. Характеристика материка Австралия. Подготовка к ЕГЭ. Законы логики и преобразования логических выражений. Логические выражения и логические операции. Одномерные массивы. Описание, ввод, вывод. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Построение таблиц истинности и логических функций. Решение логических задач. Древнерусское искусство. Импрессионизм и постимпрессионизм в живописи. Искусство Древнего Египта. Искусство Древнего Рима.

Искусство Древней и средневековой Индии. Искусство эпохи Возрождения. Культура Древней Греции. Русское искусство 1 половина XIX века. Русское искусство 2 половина XIX века. Течения западноевропейской живописи. Художественная культура Ислама. Карта сайта. При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку. Закон означает отсутствие показателей степени. Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

Упрощение формул. Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Основы алгебры логики

В алгебре логики имеются четыре основных закона, регламентирующих порядок производства операций НЕ, И, ИЛИ в любом логическом выражении:. Переместительный закон.

Этот закон справедлив как для дизъюнкции, так и для конъюнкции:. Справедливость выражения 1 нетрудно доказать простой подстановкой в него различных значений x 1 и x 2. Поскольку любую перестановку большего количества слагаемых можно свести к последовательности перестановок слагаемых в отдельных парах, то переместительный закон будет справедлив при любом числе слагаемых. Сочетательный закон. Этот закон, так же как и переместительный, является симметричным, т.

Доказательство этого закона также не представляет никаких трудностей и может быть выполнено простой подстановкой. Распределительный закон. В отличие от обычной алгебры алгебра логики симметрична. В ней справедливы два распределительных закона:. Справедливость формулы 3 , а также и ее более общего случая, когда в скобках заключена сумма любого количества слагаемых, можно доказать путем установления идентичности условий обращения в 0 или 1 ее левой и правой частей.

Условием обращения в нуль левой части выражения 3 состоит в том, чтобы нулю равнялся либо один аргумент х 3 , либо одновременно аргументы x 1 и x 2. Условия обращения в нуль правой части выражения 1 такие же. Следовательно, распределительный закон 1-го рода справедлив для алгебры логики.

Справедливость формулы 4 при любом количестве аргументов нетрудно доказать посредством установления идентичности условий обращения обеих ее частей в единицу. Закон инверсии правило Де Моргана.

Этот закон, так же как и все предыдущие, симметричен относительно логических сложения и умножения. Отрицание логической суммы нескольких аргументов равно логическому произведению отрицаний этих же аргументов:.

Доказательство закона не представляет трудностей, поскольку условие обращения в нуль как левой, так и правой частей выражения 5 состоит в том, чтобы был истинным хотя бы один аргумент. Отрицание логического произведения нескольких аргументов равно логической сумме отрицаний этих же аргументов:. Справедливость этого закона следует из того, что условие обращения в единицу обеих частей формулы 6 заключается в том, чтобы был ложным хотя бы один аргумент. Следствия из законов алгебры логики.

Из доказанных выше законов можно вывести ряд следствий, которые сформулируем в виде правил. Правило выполнения совместных логических действий правило старшинства логических функций. При решении логических задач приходится встречаться с выражениями, содержащими действия отрицания, конъюнкции и дизъюнкции в любом сочетании.

По аналогии с арифметическими действиями будем считать отрицание логическим действием первой ступени старшей логической операцией , конъюнкцию - действием второй ступени, а дизъюнкцию - действием третьей ступени младшей логической операцией. Старшинство операции инверсии вытекает из закона инверсии, в соответствии с которым логическая сумма отрицаний некоторых аргументов не равна отрицанию их суммы это справедливо и для логического произведения.

Это значит, что ни операцию дизъюнкции, ни операцию конъюнкции нельзя проводить, игнорируя знак отрицания над каким-либо из логических аргументов, т. Из этого следует, что можно условиться считать более старшей операцией любую из них, но, приняв какое-либо условие, надо придерживаться его все время.

На практике оказалось удобнее считать более старшей операцию логического умножения, так как это соответствует правилам обычной алгебры и для нас более привычно. На основе изложенного можно сформулировать следующее правило выполнения совместных логических действий: если в логическом выражении встречаются только действия одной и той же ступени, то их принято выполнять в том порядке, в котором они написаны; если в логическом выражении встречаются действия различных ступеней, то сначала принято выполнять действия первой ступени, затем -- второй, и только после этого -- третьей.

Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками. Правило склеивания. Если имеется некоторый конечный набор логических аргументов x 1 , x 2 , … x n , то логическое произведение любого их числа называется элементарным в том случае, когда сомножителями в нем являются либо одиночные аргументы, либо отрицания одиночных аргументов. Символ любого аргумента в элементарной конъюнкции может встречаться только один раз, поскольку произведение аргумента самого на себя равно этому же аргументу, а произведение аргумента на свое отрицание равно нулю.

Количество сомножителей в элементарной конъюнкции называется ее рангом. Два элементарных произведения одинакового ранга r называются соседними, если они являются функциями одних и тех же аргументов и отличаются только знаком отрицания инверсии одного из сомножителей.

Например, элементарные конъюнкции. Правило склеивания для элементарных конъюнкций может быть сформулировано следующим образом: логическую сумму двух соседних произведений некоторого ранга r можно заменить одним элементарным произведением ранга r-1, являющимся общей частью исходных слагаемых.

Это правило является следствием распределительного закона 1-го рода и доказывается путем вынесения за скобку общей части слагаемых, являющихся соседними конъюнкциями.

Тогда в скобках остается логическая сумма некоторого аргумента и его инверсии, равная единице, что и доказывает справедливость правила. Поскольку алгебра логики является симметричной, то все определения, данные для конъюнкции, будут справедливы и для дизъюнкции. Если имеется некоторый конечный набор логических аргументов, то логическая сумма дизъюнкция , зависящая от любого их числа, называется элементарной в том случае, когда слагаемыми в ней являются либо одиночные аргументы, либо отрицания одиночных аргументов.

Количество слагаемых в элементарной дизъюнкции называется ее рангом. Две элементарные суммы одинакового ранга называются соседними, если они являются функциями одних и тех же аргументов и отличаются только знаком отрицания инверсии одного из слагаемых. Правило склеивания двух элементарных дизъюнкций формулируется так: логическое произведение двух соседних сумм некоторого ранга r можно заменить одной элементарной суммой ранга r- 1, являющейся общей частью исходных сомножителей.

Это правило является следствием распределительного закона 2-го рода и применяется для упрощения логических выражений. Правило поглощения. Так же как и склеивание, поглощение может быть двух видов. Правило поглощения для двух элементарных конъюнкций формулируется так: логическую сумму двух элементарных произведений разных рангов, из которых одно является собственной частью другого, можно заменить слагаемым, имеющим меньший ранг.

Это правило является следствием распределительного закона 1-го рода. Доказывается оно посредством вынесения за скобку общей части слагаемых. В скобках останется логическая сумма некоторого выражения и единицы, равная в свою очередь также единице, что и доказывает справедливость правила.

Правило поглощения для двух элементарных дизъюнкций: логическое произведение двух элементарных сумм разных рангов, из которых одна является общей частью другой, можно заменить сомножителем, имеющим меньший ранг. Это правило является следствием распределительного закона 2-го рода и также находит широкое применение для упрощения логических функций. Правило развертывания. Это правило регламентирует действие, обратное склеиванию. Иногда требуется представить некоторое логическое выражение в виде совокупности конституент единицы или конституент нуля.

Если членами преобразуемого выражения являются элементарные конъюнкции, то переход от них к конституентам единицы производится в три этапа по следующему правилу:.

Ранг конституенты единицы для данной функции равен 4. Производим развертывание исходной конъюнкции поэтапно в соответствии с правилом развертывания:.

Если членами преобразуемого выражения являются элементарные дизъюнкции, то переход от них к конституентам нуля производится также в три этапа по следующему правилу:. Далее производим развертывание исходной дизъюнкции поэтапно в соответствии с правилом развертывания:. Категории Авто. Предметы Авиадвигателестроения. Методы и средства измерений электрических величин. Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении. Социально-философская проблематика. Теория автоматического регулирования.

Управление современным производством. Тема Законы алгебры логики в ОФПС и их следствия. Правило выполнения совместных логических действий, правило склеивания, правило поглощения, правило развертывания В алгебре логики имеются четыре основных закона, регламентирующих порядок производства операций НЕ, И, ИЛИ в любом логическом выражении: переместительный коммутативный ; сочетательный ассоциативный ; распределительный дистрибутивный ; инверсии правило Де Моргана.

В ней справедливы два распределительных закона: для логического умножения относительно логического сложения распределительный закон 1-го рода и для логического сложения относительно логического умножения распределительный закон 2-го рода.

Рыночное равновесие спроса и предложения. Равновесная цена. Эластичность предложения. Виды юридических лиц. Субъект, объект, объективная, субъективная стороны правонарушения. Соотношение законности и правопорядка. Раннее средневековье. От зависти люди стареют, от обиды болеют, от злости тупеют, а от любви - молодеют!

Законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами. ¬ (X \/ y) /\ (X /\ ¬y) = ¬ X /\ ¬y /\ (X /\ ¬y) = ¬ X /\ X/\¬y /\¬y= 0 ¬y /\¬y. 3) применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с её инверсией.

Основные законы алгебры логики

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме. Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе. Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Х истинно, то его отрицание НЕ Х должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.

Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате получим исходное высказывание. Переместительный коммутативный закон. Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. Сочетательный ассоциативный закон. При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. Распределительный дистрибутивный закон. Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

Закон общей инверсии Закон де Моргана. Закон равносильности идемпотентности. Законы исключения констант:. Закон поглощения:. Закон исключения склеивания :. Закон контрапозиции. Применим законы алгебры логики. Покажем на примере как можно упростить логическое выражение:. Законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с её инверсией и правило операций с константами.

Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений. Home Теория Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре.

Закон Формулировка 1. Закон общей инверсии.

_02Л_Законы АЛ

Логические операции — действия, в результате которых существующие понятия изменяются либо образуются новые. Рассмотрим их основные признаки. Выражение также называют логическим умножением. Его истинность сохраняется только в одном случае: при истинности простых выражений в его составе. В обратном случае выражение принимает значение ложного. Данное выражение также называют логическим сложением. Оно истинно почти всегда, за исключением ситуации, когда все подвыражения ложны.

В случае, когда изначальное выражение истинно, его отрицание — ложь. Если изначальное выражение ложь, его отрицание является истиной. Данное выражение истинно в любом случае за исключением, когда из истинного следует ложное. Импликация объединяет подвыражения, среди которых одно - условие, а второе — его следствие. Данное выражение также называют логической равнозначностью. Она является истинной на равных наборах значений переменных.

Выражение также называют сложением по модулю. Оно истинно только в случае, при котором значения аргументов не являются равными. К характеристикам строгой дизъюнкции относят отрицание, получение 0, коммутативность, ассоциативность, поглощение, сравнение по модулю, идемпотентность. Это булева функция над двумя переменными. С ее помощью возможно выстроить любые логические операции. Функции дано название в честь американского логика Чарльза Пирса.

Это бинарная операция логики, которая образует базис для булевых функций двух переменных. Используется в алгебре логики с года. Студент, учись!

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме.

Алгебра логики: законы алгебры логики

Законы алгебры высказываний. Алгебра высказываний алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

Законы алгебры высказываний алгебры логики — это тавтологии. Иногда эти законы называются теоремами. В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.

Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную. Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний. Закон тождества:. Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки. Хождение в школу — движение. Закон непротиворечия :. В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

Примеры выполнения закона исключенного третьего:. Число либо четное, либо нечетное, третьего не дано. Предприятие работает убыточно или безубыточно. Эта жидкость является или не является кислотой. Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики.

Там же, где встречается неопределенность например, в рассуждениях о будущем , закон исключенного третьего часто не может быть применен. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным.

Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего. Кто стрижет волосы парикмахеру?

В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы.

Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний. Для этого построим таблицу истинности:. Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.

Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:. Свойства констант:. Законы идемпотентности:. Законы коммутативности:. Законы ассоциативности:. Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

Законы дистрибутивности:. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее всего провести с помощью таблицы истинности:. Законы поглощения:. Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно. Законы де Моргана:. Словесные формулировки законов де Моргана:. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот. Примеры выполнения закона де Моргана:.

Замена операций импликации и эквивалентности. Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание импликации. Рассмотрим следующий пример. Пусть дано высказывание:. Перейти к основному содержанию. Бунинский диктант Региональный Краеведческий марафон "Саратовская кругосветка" Виртуальный исторический класс Конкурс "Доступное образование" Методическое объединение дистанционных педагогов Региональная инновационная площадка Семинары Президентские состязания Олимпиада "Белая береза".

О портале Документы Контакты Инструкции для разработчиков Вопросы-ответы. Вы используете гостевой доступ Вход. Основные законы алгебры логики. Законы алгебры высказываний Алгебра высказываний алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний. Закон непротиворечия : В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

Примеры выполнения закона исключенного третьего: 1. Законы де Моргана: Словесные формулировки законов де Моргана: 1. Замена операций импликации и эквивалентности Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Простые и сложные высказывани. Перейти на Новостной форум Основы алгебры логики Основные понятия и аксиомы алгебры логики. Простые и сложные высказывания.

Основные понятия и аксиомы алгебры логики. Простые и сложные высказывани Логические формулы и таблицы истинности Логические формулы и таблицы истинности Тест по теме 2 Логические функции Логические функции Итоговый тест.

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания. Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано. Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции. Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям. Пример 1.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.). Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям. Упрощение формул. Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С).

Законы алгебры высказываний. Алгебра высказываний алгебра логики — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний. При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

Высшая математика — просто и доступно! Математические формулы, таблицы и справочные материалы. Книги по математике. Высшая математика для чайников, или с чего начать?

В законах описаны правила равенства равносильности функций.

Логические операции — действия, в результате которых существующие понятия изменяются либо образуются новые. Рассмотрим их основные признаки. Выражение также называют логическим умножением. Его истинность сохраняется только в одном случае: при истинности простых выражений в его составе. В обратном случае выражение принимает значение ложного.

Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами. Многие математические объекты целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества вы изучаете в школьном курсе алгебры, где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т. Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики; объектами алгебры логики являются высказывания.

Комментарии 5
Спасибо! Ваш комментарий появится после проверки.
Добавить комментарий

  1. Регина

    Теоретически не сложно , а практически сплошная бюрократия.

  2. saabradalla

    Ну Корнев свистелка все же. Никто ничего не предъявляет никогда, никаких документов и ордеров. Начинается все с требования Открыть им дверь! В грубой форме. Либо вламывания внутрь квартиры. Им так выгоднее. Какое там изучить постаноаление об обыске ? Никто вам не даст этого сделать. Им быстрее вас затолкать в кутузку надо. Так что гражданин большой специалист посвистывает.

  3. Казимир

    Задрали они своими заморозками, когда они уже нажрутся?

  4. Пахом

    Щас можно прикупить не нужную бляху в село под самоделку.

  5. lentcargoring

    Лох не мамонт, олх в переводе (лох)